Interaktiot eli yhdysvaikutukset

Tilastollinen interaktio tarkoittaa, että emme voi tarkastella pelkästään tekijöiden päävaikutuksia erillisinä, vaan meidän on otettava huomioon myös muiden tekijöiden vaikutus yhtä tekijää tarkastellessamme. Toinen tekijä voi joko voimistaa tai heikentää päävaikutusta.

Biometrian kirjassa (Esimerkki 8.16 Ranta et al., 1989, Aineisto kammio paketissa rekola) tarkastellaan otsonin ja typen oksidien vaikutusta kuusen kloroplastin pituuteen. Koe on tehty kaasukammiossa, jossa NOX-tasot olivat 0 tai 5 $ \mu$g m-3 ja O3-tasot 0 tai 40 $ \mu$g m-3 (kirjassa yksikkövirhe). Käsittelyjä oli kaikkiaan neljä: ei lainkaan lisättyjä kaasuja (``kontrolli''), lisätty NOX, lisätty otsoni ja lisätty sekä NOX että otsoni.

Interaktiomalli voidaan määrittää kahdella vaihtoehtoisella tavalla malliyhtälössä:

lm(NOX + O3 + NOX:O3)
lm(NOX*O3)
Ensimmäinen mallilauseke luettelee julkisesti sekä päävaikutukset (NOX, O3) että niiden interaktion (NOX:O3). R käyttää interaktion operaattorina merkkiä ``:'' -- monissa muissa ohjelmisssa operaattori on ``.'', joka kuitenkin on R:ssä sallittu muuttujien nimissä.

Jälleen mallin määrittely on yhtä helppoa kuin mallilausekkeen kirjoittaminen:

> data(kammio)
> kammio.aov <- aov(kloropl ~ NOX*O3, data=kammio)
> summary(kammio.aov)
            Df   Sum Sq  Mean Sq F value    Pr(>F)
NOX          1 0.218700 0.218700 59.6455 5.622e-05
O3           1 0.020833 0.020833  5.6818 0.0442922
NOX:O3       1 0.172800 0.172800 47.1273 0.0001290
Residuals    8 0.029333 0.003667                  
Käytimme tällä kertaa funktiota aov, mutta saisimme funktion lm mallisen tulostuksen pyytämällä yhteenvetoa komennolla summary.lm.

Interaktion vaikutus on merkitsevä, eli typen vaikutus on erilainen otsonin kanssa ja ilman otsonia. Nämä erot näkyvät vielä paremmin vaikutustaulukosta:

> model.tables(kammio.aov)
Tables of effects

 NOX
     0      5
 0.135 -0.135

 O3
       0       40
-0.04167  0.04167

 NOX:O3
   O3
NOX 0     40   
  0 -0.12  0.12
  5  0.12 -0.12
Tämän taulukon avulla voimme arvioida kunkin käsittely-yhdistelmän kokonaisvaikutukset, jotka esitämme samassa järjestyksessä kuin yhdysvaikutukset mallitaulukossa, eli riveillä typen oksidien ja sarakkeilla otsonin vaikutukset:

$\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{cc}
+0.135-0.042-0.120 & +0.135+0.042+0.120 \\
-0.135-0.042+0.120 & -0.135+0.042-0.120
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc}
+0.135-0.042-0.120 & +0.135+0.042+0.120 \\
-0.135-0.042+0.120 & -0.135+0.042-0.120
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{cc}
+0.135-0.042-0.120 & +0.135+0.042+0.120 \\
-0.135-0.042+0.120 & -0.135+0.042-0.120
\end{array} }\right]$ = $\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{cc}
-0.027 & +0.297 \\  -0.057 & -0.213
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc}
-0.027 & +0.297 \\  -0.057 & -0.213
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{cc}
-0.027 & +0.297 \\  -0.057 & -0.213
\end{array} }\right]$

Jos yhdysvaikutuksia ei olisi, saisimme ennustetun kloroplastipituuden laskemalla yhteen pelkästään päävaikutukset. Merkitsevä yhdysvaikutus tarkoittaa, että kullakin käsittely-yhdistelmällä on oma vaikutuksensa, joka on lisättävä päävaikutuksiin. Tällä kertaa tilanne on sangen selvä: Yhdysvaikutus likipitäen kumoaa päävaikutukset ensimmäisessä sarakkeessa ja vahvistaa niitä toisessa sarakkeessa. Toisin sanoen, typenoksideilla ei ole juuri lainkaan vaikutusta kloroplasteihin ilman otsonia, mutta otsonipitoisuudessa 40 $ \mu$g m-3 typen oksidien vaikutus on voimakas. Otsoni voimistaa typenoksidien vaikutusta eli vaikutuksen sanotaan olevan ``synergistinen'' (vastakohta olisi ``antagonistinen''). Vaikutustaulukko käyttää ``summakontrasteja'' (§7.5), mikä ei ole erityisen mielekästä tällaisessa suunnitellussa kokeessa, missä olisi luontevampaa verrata käsittelyjä nollatasoihin.

Varianssitaulukko antaa merkitsevyydet sekä päävaikutuksille että yhdysvaikutuksille. Tällä kertaa kaikki ovat merkitseviä, vaikkakin O3 hipoo sovinnaisia rajoja. Jos interaktio on merkitsevä, päävaikutusten merkitsevyyteen ei kuitenkaan voi kiinnittää paljonkaan huomiota. Vaikka otsonin päävaikutus olisi epämerkitsevä, otsoni olisi kuitenkin tärkeä tekijä, sillä se on osallinen merkitsevään interaktioon. Kaikkia merkitsevään interaktioon sisältyviä termejä on pidettävä merkitsevinä riippumatta niiden päävaikutusten analyysistä.

Yhdysvaikutukset ovat tärkeitä ekologisessa analyysissä. Syynä siihen ettemme analysoineet niitä männyntaimiesimerkissä (§7.4) oli aineiston pieni koko, mikä ei sallinnut interaktiotermien analyysiä. Olisi ollut mahdollista että joidenkin emopuiden jälkeläiset sopivat paremmin esim. kennotaimiksi ja tällöin olisimme saanet merkitsevän emo:istutus -interaktion. Meillä oli kuitenkin vain yksi toisto kustakin käsittelykombinaatiosta, joten emme pystyneet arvioimaan kombinaatioiden sisävaihtelua emmekä siis myöskään yhdysvaikutusten merkitsevyyttä. Ekologisia perusteita meillä ei ollut yhdysvaikutusten laiminlyöntiin, ainoastaan teknisiä.

Kiinteiden ja satunnaisten vaikutusten sekamalleissa (§7.7) on myös tapana olettaa että satunnaistekijöillä ei ole interaktioita keskenään eikä kiinteiden tekijöiden kanssa. Tämä on usein perusteeton olettamus, mutta se on tapana tehdä. Perusteet ovat jälleen käytännölliset ja tekniset, eivät tieteelliset. Mikäli meillä on havaintoaineisto, satunnaisten tekijöiden yhdysvaikutusten analysointi on usein tieteellisesti välttämätöntä.

Mikäli meillä on monitekijäinen malli, yhdystermien lukumäärä kasvaa usein hyvin nopeasti. Kahden tekijän mallissa meillä oli vain ensimmäisen asteen interaktiot, mutta jo kolmen tekijän malli laajenee hankalan suureksi:

lm(A*B*C) = lm(A + B + C + A:B + A:C + B:C + A:B:C)
Neljän tekijän ajattelemisenkin pitäisi herättää väristyksiä. Korkean asteen yhdysvaikutukset ovat usein hankalia tulkita, ja lisäksi suurten mallien estimointi on epävarmaa. Tämän takia korkeimman asteen interaktiot jätetään usein pois malleista. Tämä voidaan kätevästi lyhentää mallilausekkeessa:
lm(A + B + C)^2 = lm(A + B + C + A:B + A:C + B:C)


Jari Oksanen 2003-01-21