Professor Keijo Väänänen

802118P Lineaarialgebra I 2ov
Toteutus: luentoja 22 h, harjoituksia 18 h, loppukokeella
Esitiedot: Lukion laaja matematiikka.
Kurssilla käsiteltävät asiat ovat välttämättömiä lähes kaikilla myöhemmillä matematiikan kursseilla ja sovellusalueita löytyy myös muilta tieteenaloilta.
Sisältö: Lineaariset yhtälöryhmät ja niiden ratkaiseminen Gaussin eliminointimenetelmällä. matriisialgebra, R^n.
Vastuuhenkilö: Keijo Väänänen

802119P Lineaarialgebra II 3 ov
Toteutus: luentoja 34 h, harjoituksia 26 h, kaksi välikoetta tai loppukoe
Esitiedot: Lineaarialgebra I
Kurssilla käsiteltävät asia ovat välttämättömiä lähes kaikilla myöhemmillä matematiikan kursseilla ja sovellusalueita löytyy myös muilta tieteenaloilta.
Sisältö: Vektoriavaruudet ja sovellusten kannalta tärkeät sisätuloavaruudet, lineaariset kuvaukset, determinantit, lineaaristen kuvausten ja matriisien ominaisarvot ja ominaisvektorit, Hermiten matriisit ja muodot.

801346A Salausmenetelmät 2 ov
luentoja 22 h, harjoituksia 15 h
Kurssi ei edellytä esitietoja
Salakirjoitusta on käytetty vuosisatoja. Aikaisemmin sen käyttö rajoittui lähinnä sotilaallisiin tai diplomaattisiin tarkoituksiin. Tietokoneisiin perustuvan tiedonvälityksen yleistyminen viimeisten vuosikymmenien aikana merkitsee sitä, että salausmenetelmiä tarvitaan päivittäin lähes kaikilla yhteiskunnan alueilla.
Myös menetelmät ovat muuttuneet; aikaisempien menetelmien tilalle ovat tulleet ns. julkisen avaimen salaukset, joiden perusteet esitettiin vajaat kolmekymmentä vuotta sitten. Samalla kävi ehkä yllättäen ilmi, että modernien salaus- ja allekirjoitusmenetelmien eräänä keskeisenä perustana toimivat 300-400 vuotta vanhat lukuteorian tulokset.
Tästä johtuen kurssi aloitetaan alkeislukuteorian tarkastelulla. Tämän jälkeen tutustutaan perinteisiin salausmenetelmiin ja sitten tarkastellaan kolmea julkisen avaimen menetelmää, jotka ovat RSA, diskreetti logaritmi ja selkäreppu.
Vastuuhenkilö: Keijo Väänänen

801698S Kryptografia 5 ov
Toteutus: luentoja 56 h, harjoituksia 28 h, kaksi välikoetta tai loppukoe
Kurssi edellyttää kurssin Algebra I hallintaa, suositeltavaa on myös kurssin Salausmenetelmät tunteminen.
Johdatteluksi tälle kurssille käy kurssin Salakirjoitukset esittely. Kryptografian kurssilla paneudutaan julkisen avaimen salausmenettelyjen ja sähköisten allekirjoitusmenetelmien analysointiin. Kurssi aloitetaan äärellisten kuntien laskutoimitusten laskennallisen kompleksisuuden sekä eräiden lukuteorian tulosten tarkastelulla. Tämän jälkeen tutustutaan DES- ja DSA-järjestelmien perusteisiin. RSA:n ja diskreetin logaritmin käyttö edellyttää työskentelyä suurilla alkuluvuilla, mistä johtuen kurssilla tutustutaan alkulukutesteihin ja tekijöihinjakomenetelmiin. Erityistä huomioita kiinnitetään siihen, mitä asioita tulee ottaa huomioon murtomahdollisuuksien takia. Kurssilla käsitellään myös eräitä uudempia menetelmiä ja niiden vaatimia matemaattisia työkaluja, esimerkiksi polynomirenkaita ja elliptisiä käyriä. Lopuksi paneudutaan viimeisen vuosikymmenen aikana kehitettyihin elliptisiin käyriin perustuviin salaus- ja allekirjoitusmenetelmiin.
Vastuuhenkilö: Keijo Väänänen

800657S Lukuteoria 5 ov
Toteutus: luentoja 56 h ja harjoituksia 28h.
Lukuteoria on vanhimpia matematiikan osa-alueita. Se on kuitenkin edelleen aktiivisen tutkimuksen kohteena ja viimeisten vuosikymmenien aikana on ehkä hieman yllättäen huomattu, että lukuteorialla on runsaasti sovellutuksia modernissa tiedonsiirrossa. Kurssin tarkoituksena on antaa monipuolinen näkemys keskeisiin lukujoukkoihin ja lukujen eri esitystapoihin, joiden tuntemus on välttämätöntä erityisesti aineenopettajille. Kurssi antaa myös valmiuksia jatko-opintohin ja tutkimustyöhön lukuteorian ja sen sovellutusten eri alueilla. Aluksi tarkastellaan reaalilukujen erikantaisia kehitelmiä ja ketjumurtoesityksiä sekä irrationaalisuutta. Rationaalilukujen algebrallisten laajennusten perustieden jälkeen käsitellään yksityiskohtaisesti neliökuntia ja ympräkuntia Erityisesti käydään läpi neliökuntien kokonaislukujen renkaan jaollisuustarkasteluja ja ideaaliteoriaa. Kurssi pääättyy muutamiin yksinkertaisimpiin transkendenttisuustarkasteluihin.
Kurssi edellyttää kurssien Lineaarialgebra ja Algebra I hallintaa.
Kurssin luentorunko on saatavissa monisteena Lukuteoria.
Vastuuhenkilö: Keijo Väänänen

800667S Koodausteoria 5 ov
Toteutus: luentoja 56 h ja harjoituksia 28 h
Kurssilla käsitellään tiedonsiirrossa tarvittavien virheitä korjaavien koodien teoriaa. Kyseessä on varsin uusi matematiikan osa-alue, joka on kehittynyt ja laajentunut voimakkaasti viimeisten kolmen vuosikymmenen aikana, jolloin myös tarve kehittää entistä tehokkaampia virheitä korjaavia koodeja on koko ajan lisääntynyt. Kurssin tavoitteena on antaa opiskelijoille hyvä näkemys tällaisten koodien rakenteesta ja käytöstä. Kurssi keskittyy lohkokoodien tarkasteluun.
Äärellisten kuntien perusteiden esittelyn jälkeen käydään läpi lineaariset koodit ja sykliset koodit, erityisesti käsitellään esimerkiksi Reedin-Mullerin koodien, BCH-, RS- ja Goppa-koodien keskeiset ominaisuudet. Ryöppyvirheiden korjausta tarkastellaan erikseen. Myös äärellisten kuntalaajennusten jälkifunktion keskeiset ominaisuudet käsitellään, samoin jälkifunktion käyttö syklisten koodien ja hajaspektritekniikan vaatimien koodijonojen esittämisessä. Matematiikan ja tietotekniikan suuntautumisvaihtoehdossa opiskelevien lisäksi kurssi soveltuu myös muiden suuntautumisvaihtoehtojen opiskelijoille, jotka ovat kiinnostuneita lukuteorian ja algebran moderneista sovellutuksista.
Kurssi edellyttää Lineaarialgebran ja Algebra I:n hallintaa. Kurssin luentorunko on saatavissa monisteena "Koodausteoria".
Vastuuhenkilö: Keijo Väänänen